Bài 1. Phương trình liên tục

Chương 1. Phương trình khí động cho dòng khí đơn vị

Bài 1. Phương trình liên tục

Trong bài này chúng ta sẽ đưa ra các phương trình cơ sở của khí động lực học cho dòng khí đơn vị — là dòng khí có tiết diện ngang rất nhỏ , sao cho trên mỗi tiết diện đó có thể coi các thông số khí động cơ bản như: vận tốc, áp suất, nhiệt độ, khối lượng riêng, … là không đổi . Các phương trình này phần lớn được dùng trong lý thuyết về động cơ phản lực. Trong trường hợp các thông số thay đổi nhiều (ví dụ vận tốc hay nhiệt độ khác nhau ở mỗi điểm khác nhau trên cùng một thiết diện), chúng ta có thể đưa vào khái niệm giá trị trung bình của các đại lượng này theo mặt cắt và áp dụng các phương trình này cho dòng khí như trong trường hợp các thông số là không đổi. Phương pháp này chính là phương pháp cơ sở của thủy lực học, vì thế động lực học cho dòng khí đơn vị còn được gọi là thủy khí động lực học.

Để thu được phương trình liên tục, trước hết xét một dòng khí nguyên thủy trong dòng chảy dừng. Khi đó tại mỗi điểm của dòng đang xét vận tốc chuyển động và trạng thái (khối lượng riêng, nhiệt độ, áp suất) khí (hoặc chất lỏng) là không đổi theo thời gian. Qũy đạo của các phần tử khí được gọi là các đường dòng. Đối với chất lỏng (khí), mặt bên của dòng chảy gọi là mặt dòng (vector vận tốc chảy tiếp tuyến với nó); đường sinh của mặt dòng là các đường dòng.

Hình 1.1. Minh họa một tia đơn vị

Xét một đoạn nhỏ của dòng khí giới hạn bởi hai thiết diện pháp tuyến với dòng là 1 và 2 ; theo hướng chảy như trên hình 1.1 luồng khí chảy vào thể tích 1-2 chỉ qua tiết diện ngang 1, và đi ra qua tiết diện 2.

Trong một thời gian vô cùng bé dt, luồng khí dịch chuyển đến vị trí mới 1′-2′. Có nghĩa là, trong khoảng  , phần thể tích gạch sọc 1′-2 nhận vào một lượng khí từ 1-1’ và đẩy vào 2-2’ đúng một lượng như thế. Lượng khí mà 1′-2 nhận được là:

     (1)

là khối lượng riêng của khí tại mặt cắt 1,  — diện tích mặt cắt 1. Khoảng cách — diện tích mặt cắt 1. Khoảng cách   giữa các mặt 1 và 1′ bằng tích của vận tốc chảy với thời gian :

 là vận tốc tại mặt cắt 1, khi đó:

Lượng khí thoát ra từ thể tích 1′-2 bằng:

Trong chế độ chảy dừng và môi trường liên tục thì lượng khí chảy vào bằng lượng khí thoát ra (điều kiện không tồn tại sự tích đọng vật chất):

     (2)

Trong trường hợp chất lỏng không bị nén (), phương trình (2) có thể viết lại ở dạng đơn giản sau:

     (3)

Công thức này cũng có thể áp dụng cho chất khí trong các trường hợp mà sự thay biến đổi về khối lượng riêng của nó có thể bỏ qua được.

Từ phương trình liên tục (3) ta có thể đưa ra nhận xét về vận tốc chuyển động của khí dọc theo đường dòng trong môi trường liên tục như sau: ở những nơi đường dòng có xu hướng tập trung lại thì vận tốc dòng chảy tăng lên, ngược lại vận tốc giảm ở những vùng mà các đường dòng tách xa nhau. Trong chuyển động chất khí không phải khi nào cũng có thể ngay lập tức xác định được sự thay đổi vận tốc dựa vào mật độ đường dòng, bởi vì còn phải tính toán đến sử thay đổi khối lượng riêng của khí.

Từ phương trình (2) có thể thấy rằng bức tranh về đường dòng hoàn toàn xác định mật độ dòng:

nó bằng tích khối lượng riêng chất khí với vận tốc, nghĩa là khối lượng khí chảy qua một đơn vị diện tích mặt cắt.

Tại nơi đường dòng đặc mật độ dòng tăng lên, tại nơi đường dòng phân tán – giảm đi.

Phương trình lưu lượng không đổi của khí:    có thể biểu diễn dưới dạng vi phân:

Chia hai vế cho , thu được:

     (4)

Phương trình liên tục, cũng như phương trình năng lượng (sẽ dẫn ra trong bài 2) cho 1 đơn vị dòng chảy được sử dụng rộng rãi trong tính toán ống dẫn khí, thủy động lực học, ống năng lượng và ống dẫn, động cơ phản lực và nhiều thiết bị khác khi có sự chuyển động của dòng khí hoặc chất lỏng.

Trong các trường hợp này, 1 đơn vị dòng chảy được hiểu không phải là một phần trong sự chảy tổng quát, bị giới hạn bởi bề mặt dòng chảy có tiết diện nhỏ, mà là toàn bộ dòng chất lỏng (khí), và sử dụng một mô hình thủy động lực học sau.

Trong mỗi mặt cắt ngang, vận tốc chảy tương đối so với thành ống, và các thông số miêu tả tính chất của môi trường (áp suất, nhiệt độ, khối lượng riêng, …) coi như hằng số và bằng giá trị trung bình. Để xác định các giá trị trung bình này cần các phương pháp đặc biệt (xem chương 5, bài 8).

Sự thay đổi các giá trị trung bình của vận tốc và các thông số của môi trường từ mặt cắt này đến mặt cắt khác trong mô hình này tuân theo phương trình 1 chiều của một đơn vị dòng chảy giả định. Việc phân tích tính chất của nó sẽ được trình bày trong chương I.